Расчет коэффициентов множественной линейной регрессии:
Предпол-м, что исход выборка предст-на как
Век-р искомых коэф-в и вектор откл-ий
Тогда вел-на Q м.б. запис-на в виде произв-ия 2-х век-ров как
А Ỹ б опр-ся как
=> е=У-Ỹ
, т.к. транспонирование озн-т, что строки стан-ся столбцами и наоборот.
Но т.к. Q –нек-ое число, то каждое из выраж-й здесь также из себя предс-т число.
При трансп-ии матрица сост-ая из 1 эл-та переходит сама в себя.
Воспол-ся этим св-вом и докажем, что 2 и 3 слогаемое в выр-ии совп-т. Для этого транспон-ем любое из них.
2).
Найдем производную от этого выр-ия по любой из компонент в-ра В.
Распишем в явном виде значение для 2 и 3 выраж-ий, т.кк производ от 1-го слог-го по люб bj=0.
Тогда производ-я по люб из значений bj м.б. предст-на как эл-ты произведения из соответ строки этой матрицы (век-ра-столбца), т.е.
Рассм-м теперь последнее из слогаемых, но сначала распишем матрицу
Размер-ть 1-й (m+1)n, 2-й n(m+1)
Размер-ть итоговой (m+1)(m+1)
Полученная матрица всегда симметр-на отн-но глав диагонали, т.к. под знаком суммир-я множители м поменять местами.
Б считать, что эл-ми матрицы Z яв-ся Zij, причем, чтобы не запис-ть нулевые строку и столбец, добавленные в выборку.
Z=(Zij) i=1, m+1
j=1, m+1
Б считать, что эл-ты Z имеют индексы:
,
где индекс 0 соотнес с этой добавленной строкой и столбцом.
Тогда все выраж-ие б равно
Тогда при вычил-ии производ-й от такого выраж-ия каждая производ-я по bj б встреч-ся дважды: 1-й раз во внеш суммир-ии, 2-й во внутр.
Поэтому производ-й от 3-го слогаемого б рав-на:
И чтобы найти значи-я для век-ра В, мы д эту производ-ю приравнять к 0.
Общее выражение для нахождения коэф-в в ур-ях множест регрессии.
Значения для эл-тов век-ра B при m=1 и m=2получить на практике в общем матричном виде, что позволит понять принцип нахож-ия коэф-в ур-ий с люб кол-вом объясняющ перем-ых.
Но при решении задач с 2 объясняющ перем-ми (m=2) мы б польз-ся преобразован-ми знач-ми, получ-ми из общего вида m=2 в форме:
Для b2 получаем симметрично
bo – усл-ие прохождения ч/з среднюю точку выборки.
1-3 (дисп-ии откл-ий) не м.б. отрицат. 4-6 (ковариации) м.б. люб
|