Метод наименьших квадратов (МНК):

Состоит в минимизации нек-й ф-ии Q(bo,b1)=∑ei²=∑(yi-bo-b1xi)². Всегда, когда ничего др не указано, суммир-ие от 1 до n. Из урав-ия очевидно, что это квадрат-я ф-ия, у кот-ой сущ-т экстремум в форме минимума. Ф-ия Q непрер-на и вогнута ↓.

Необх-м усл-ем для нахожд-я точки ее min яв-ся рав-во произв-х ф-ий по пар-рам bo, b1, 0. ∂-част произ-ая.

Когда перем-я только одна вел-на, а все ост-ые знач-ия xi рассм-ся как const.

bo и b1 – const, поэтому они вынос-ся из знака ∑.

Разделим оба ур-ия на n.

Получили сис-му из 2-х ур-ий с 2 неизв-ми. Она имеет единст рещение, если ее опр-ль ≠0.

- дисп-ия разброса объясн-й перем-й. Она в случ выборках никогда ≠0. А если это происх-т, то дост-но из выборки изъять 1 пару или добавить и усл-ие б вып-ся.

D≠0

Выраж-е, стоящее в числ-ле предс-т собой ковариацию м/у перем-ми х и у.

Отсюда ковариация перем-ой самой с собой предст-т дисп-ию

Чтобы получить bo его знач-ия

В числ-ле прибавим и отнимем

=> bo и b1 расч-ся по выборке и bo только гаран-т прохождение линии регр-ии ч/з ср точку выборки.

Рас-м коэф-т

Умножим и разделим на Sу/

Это коэф-т выбороч корре-и м/у х и у.

=> b1 пропорц-ен коэф-ту выбороч коррел-и, а коэф-м пропорц-ти яв-ся отн-ие стандартов откл-ий рассматр-х фак-ров, что позволяет соизмерить эти ф-ры даже при усл-ии, что они яв-ся разноразмерными вел-ми.

Т.е. в лин ур-ии ỹ=bo+b1x х и у м иметь разн ед-цы изм-ия. Допустим х – тыс руб, у -%. Если r уже рассчитан, то мы м легко найти ур-ия парной регр-ии у на х и построить ур-ие х на у.

Отсюда

Проведенные рассуж-ия позволяют сделать неск-ко выводов:

1). Оценки коэф-тов по МНК позв-т их легко расч-ть, т.к. яв-ся ф-ями от выборки.

2). Оценки яв-ся точечными (числовыми) оценками теорет-х коэф-в.

3). Вычисления коэф-та bo всегда пок-т, что люб ур-ие регр-ии всегда проходит ч/з ср точку выборки  

4). Ур-ие регр-ии строится так, что ∑ei=0 =>

Покажем это. Из сис-мы ур-ий для коэф-в д вып-ся усл-ие

-2∑(yi-bo-b1xi)=0

-2∑(yi-ỹi)=0

-2∑ei=0 =>∑ei=0

5). Случ откл-ия ei некоррел-ны (не зависят) со случ вел-ми yi.

6). Случ откл-ие ei не коррел-т с объясняющими перем-ми, т.е. Sxe=0.

Для опр-ия вида зав-ти построим поле коррел-ии.

Для вычисления по МНК стр-ся табл.

Для анализа правил-ти опр-ия коэф-в необ-мо расч-ть ỹi и ei=(yi-ỹi)

Для анализа силы лин зав-ти вычисляем коэф-т коррел-ии.

Под интерпретацией пон-ся словесное описание получ-х рез-тов с трактовкой найденных коэф-в так, чтобы получ зав-ть стала понятна ч-ку, не имеющего навыков эконометр анализа. После интерпретации рез-тов всегда встает вопрос о кач-ве оценок и самого ур-ия в целом.